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高一数学必修五知识点梳理
高一数学必修五知识点梳理
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高一数学必修五知识点梳理

【 #高一# 导语】所有的人都是凡人,但所有的人都不甘于平庸。我们一定要相信自己,只要艰苦努力,奋发进取,在绝望中也能寻找到希望,平凡的人生终将会发出耀眼的光芒。 高一频道为各位同学整理了《高一数学必修五知识点梳理》,希望对你有所帮助! 1.高一数学必修五知识点梳理   ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件   ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用   ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用   ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用   ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用   ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用 2.高一数学必修五知识点梳理   1.不等式的定义   在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号、、连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式.   2.比较两个实数的大小   两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a-baa-b=0a-ba0,则有a/baa/b=1a/ba   3.不等式的性质   (1)对称性:ab   (2)传递性:ab,ba   (3)可加性:aa+cb+c,ab,ca+c   (4)可乘性:ab,cacb0,c0bd;   (5)可乘方:a0bn(nN,n   (6)可开方:a0   (nN,n2).   注意:   一个技巧   作差法变形的技巧:作差法中变形是关键,常进行因式分解或配方.   一种方法   待定系数法:求代数式的范围时,先用已知的代数式表示目标式,再利用多项式相等的法则求出参数,最后利用不等式的性质求出目标式的范围. 3.高一数学必修五知识点梳理   概率性质与公式   (1)加法公式:P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB),特别地,如果A与B互不相容,则P(A+B)=P(A)+P(B);   (2)差:P(A-B)=P(A)-P(AB),特别地,如果B包含于A,则P(A-B)=P(A)-P(B);   (3)乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B),特别地,如果A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B);   (4)全概率公式:P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果,   贝叶斯公式:P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因;   如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1,A2,....,An下发生,则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生,要求它是由Aj引起的概率,则用贝叶斯公式.   (5)二项概率公式:Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n.当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件:n次重复,每次只有A与A的逆可能发生,各次试验结果相互独立)时,要考虑二项概率公式. 4.高一数学必修五知识点梳理   1.数列的函数理解:   ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函数,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。   ②用函数的观点认识数列是重要的思想方法,一般情况下函数有三种表示方法,数列也不例外,通常也有三种表示方法:   a.列表法;   b.图像法;   c.解析法。   其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。   ③函数不一定有解析式,同样数列也并非都有通项公式。   2.通项公式:数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式(注:通项公式不)。   数列通项公式的特点:   (1)有些数列的通项公式可以有不同形式,即不。   (2)有些数列没有通项公式(如:素数由小到大排成一列2,3,5,7,11,...)。   3.递推公式:如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。   数列递推公式特点:   (1)有些数列的递推公式可以有不同形式,即不。   (2)有些数列没有递推公式。   有递推公式不一定有通项公式。   注:数列中的项必须是数,它可以是实数,也可以是复数。 5.高一数学必修五知识点梳理   函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下:   (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域.   (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元.   (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.   (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.   (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.   (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.   (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域.   (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域.

高一数学必修五知识点总结
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高一数学必修五知识点总结

高一是我们进入高中时期的第一阶段,我们应该完善己身,好好学习。而数学也是我们必须学习的重要课程之一,我为各位同学整理了高 一年级数学 必修五知识点 总结 ,希望对你有所帮助! 高一数学 必修五知识点总结1 【差数列的基本性质】 ⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d. ⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd. ⑶若{a}、{b}为等差数列,则{a±b}与{ka+b}(k、b为非零常数)也是等差数列. ⑷对任何m、n,在等差数列{a}中有:a=a+(n-m)d,特别地,当m=1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性. ⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l+k+p+…=m+n+r+…(两边的自然数个数相等),那么当{a}为等差数列时,有:a+a+a+…=a+a+a+…. ⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd(k为取出项数之差). ⑺如果{a}是等差数列,公差为d,那么,a,a,…,a、a也是等差数列,其公差为-d;在等差数列{a}中,a-a=a-a=md.(其中m、k、) ⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项. ⑼当公差d>0时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当d<0时,等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时,等差数列中的数等于一个常数. ⑽设a,a,a为等差数列中的三项,且a与a,a与a的项距差之比=(≠-1),则a=. ⑴数列{a}为等差数列的充要条件是:数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式(其中a、b为常数). ⑵在等差数列{a}中,当项数为2n(nN)时,S-S=nd,=;当项数为(2n-1)(n)时,S-S=a,=. ⑶若数列{a}为等差数列,则S,S-S,S-S,…仍然成等差数列,公差为. ⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T(n为奇数),则=. ⑸在等差数列{a}中,S=a,S=b(n>m),则S=(a-b). ⑹等差数列{a}中,是n的一次函数,且点(n,)均在直线y=x+(a-)上. ⑺记等差数列{a}的前n项和为S.①若a>0,公差d0,则当a≤0且a≥0时,S最小. 【等比数列的基本性质】 ⑴公比为q的等比数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等比数列,其公比为q(m为等距离的项数之差). ⑵对任何m、n,在等比数列{a}中有:a=a·q,特别地,当m=1时,便得等比数列的通项公式,此式较等比数列的通项公式更具有普遍性. ⑶一般地,如果t,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且t+k,p,…,m+…=m+n+r+…(两边的自然数个数相等),那么当{a}为等比数列时,有:a.a.a.…=a.a.a.….. ⑷若{a}是公比为q的等比数列,则{|a|}、{a}、{ka}、{}也是等比数列,其公比分别为|q|}、{q}、{q}、{}. ⑸如果{a}是等比数列,公比为q,那么,a,a,a,…,a,…是以q为公比的等比数列. ⑹如果{a}是等比数列,那么对任意在n,都有a·a=a·q>0. ⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列,且公比等于这两个数列的公比的积. ⑻当q>1且a>0或00且01时,等比数列为递减数列;当q=1时,等比数列为常数列;当q<0时,等比数列为摆动数列. 高中数学必修五:等比数列前n项和公式S的基本性质 ⑴如果数列{a}是公比为q的等比数列,那么,它的前n项和公式是S= 也就是说,公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值,分段的界限是在q=1处.因此,使用等比数列的前n项和公式,必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1,如果q可能等于1,则需分q=1和q≠1进行讨论. ⑵当已知a,q,n时,用公式S=;当已知a,q,a时,用公式S=. ⑶若S是以q为公比的等比数列,则有S=S+qS.⑵ ⑷若数列{a}为等比数列,则S,S-S,S-S,…仍然成等比数列. ⑸若项数为3n的等比数列(q≠-1)前n项和与前n项积分别为S与T,次n项和与次n项积分别为S与T,最后n项和与n项积分别为S与T,则S,S,S成等比数列,T,T,T亦成等比数列 万能公式:sin2α=2tanα/(1+tan^2α)(注:tan^2α是指tan平方α) cos2α=(1-tan^2α)/(1+tan^2α)tan2α=2tanα/(1-tan^2α) 升幂公式:1+cosα=2cos^2(α/2)1-cosα=2sin^2(α/2)1±sinα=(sin(α/2)±cos(α/2))^2 降幂公式:cos^2α=(1+cos2α)/2sin^2α=(1-cos2α)/21)sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα,tan(2kπ+α)=tanα,cot(2kπ+α)=cotα,其中k∈Z; (2)sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=-cotα (3)sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα (4)sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα (5)sin(π/2-α)=cosα,cos(π/2-α)=sinα,tan(π/2-α)=cotα,cot(π/2-α)=tanα (6)sin(π/2+α)=cosα,cos(π/2+α)=-sinα, tan(π/2+α)=-cotα,cot(π/2+α)=-tanα (7)sin(3π/2+α)=-cosα,cos(3π/2+α)=sinα, tan(3π/2+α)=-cotα,cot(3π/2+α)=-tanα (8)sin(3π/2-α)=-cosα,cos(3π/2-α)=-sinα, tan(3π/2-α)=cotα,cot(3π/2-α)=tanα(k·π/2±α),其中k∈Z 注意:为方便做题,习惯我们把α看成是一个位于第一象限且小于90°的角; 当k是奇数的时候,等式右边的三角函数发生变化,如sin变成cos.偶数则不变; 用角(k·π/2±α)所在的象限确定等式右边三角函数的正负.例:tan(3π/2+α)=-cotα ∵在这个式子中k=3,是奇数,因此等式右边应变为cot 又,∵角(3π/2+α)在第四象限,tan在第四象限为负值,因此为使等式成立,等式右边应为-cotα.三角函数在各象限中的正负分布 sin:第一第二象限中为正;第三第四象限中为负cos:第一第四象限中为正;第二第三象限中为负cot、tan:第一第三象限中为正;第二第四象限中为负。 高一数学必修五知识点总结2 (一)、映射、函数、反函数 1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别,映射是一种特殊的对应,而函数又是一种特殊的映射. 2、对于函数的概念,应注意如下几点: (1)掌握构成函数的三要素,会判断两个函数是否为同一函数. (2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法,能根实际问题寻求变量间的函数关系式,特别是会求分段函数的解析式. (3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数,其中g(x)为内函数,f(u)为外函数. 3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤: (1)确定原函数的值域,也就是反函数的定义域; (2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y); (3)将x,y对换,得反函数的习惯表达式y=f-1(x),并注明定义域. 注意①:对于分段函数的反函数,先分别求出在各段上的反函数,然后再合并到一起. ②熟悉的应用,求f-1(x0)的值,合理利用这个结论,可以避免求反函数的过程,从而简化运算. (二)、函数的解析式与定义域 1、函数及其定义域是不可分割的整体,没有定义域的函数是不存在的,因此,要正确地写出函数的解析式,必须是在求出变量间的对应法则的同时,求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型: (1)有时一个函数来自于一个实际问题,这时自变量x有实际意义,求定义域要结合实际意义考虑; (2)已知一个函数的解析式求其定义域,只要使解析式有意义即可.如: ①分式的分母不得为零; ②偶次方根的被开方数不小于零; ③对数函数的真数必须大于零; ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; ⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函数y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等. 应注意,一个函数的解析式由几部分组成时,定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集). (3)已知一个函数的定义域,求另一个函数的定义域,主要考虑定义域的深刻含义即可. 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而已知f[g(x)]的定义域[a,b]指的是x∈[a,b],此时f(x)的定义域,即g(x)的值域. 2、求函数的解析式一般有四种情况 (1)根据某实际问题需建立一种函数关系时,必须引入合适的变量,根据数学的有关知识寻求函数的解析式. (2)有时题设给出函数特征,求函数的解析式,可采用待定系数法.比如函数是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b为待定系数,根据题设条件,列出方程组,求出a,b即可. (3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法求函数f(x)的表达式,这时必须求出g(x)的值域,这相当于求函数的定义域. (4)若已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现其他未知量(如f(-x),等),必须根据已知等式,再构造其他等式组成方程组,利用解方程组法求出f(x)的表达式. (三)、函数的值域与最值 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种 方法 求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元. (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧. (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0,16],值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值. (四)、函数的奇偶性 1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式: 注意如下结论的运用: (1)不论f(x)是奇函数还是偶函数,f(|x|)总是偶函数; (2)f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数,那么在D1∩D2上,f(x)+g(x)是奇函数,f(x)·g(x)是偶函数,类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”,“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”; (3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数; (4)奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数。 3、有关奇偶性的几个性质及结论 (1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称. (2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零,那么它既是奇函数又是偶函数. (3)若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)=0成立. (4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数,则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。 (5)若f(x)的定义域关于原点对称,则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数,G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数. (6)奇偶性的推广 函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称,即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任-x都有f(a+x)=-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称图形,即y=f(a+x)为奇函数。 高一数学必修五知识点总结3 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意: (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础.(3).求函数值域的常用方法有:直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等. 3.函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象. C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A} 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成. (2)画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修4三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。 发现解题中的错误。 4.快去了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:AB” 给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点: 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;解析法:必须注明函数的定义域;图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值 补充一:分段函数(参见课本P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)称为f、g的复合函数。 高一数学必修五知识点总结相关 文章 : ★ 高中数学学霸提分秘籍:必修五知识点总结 ★ 高中数学必修5数列知识点总结 ★ 高一数学必修五数列知识点 ★ 高中数学必修5公式总结 ★ 高中数学必修5全部公式 ★ 高一数学等比数列知识点总结 ★ 高一数学必修五等比中项必考知识点 ★ 高一数学必修一知识点总结 ★ 高中数学必考知识点归纳整理 ★ 高中数学推理知识点总结

高中数学必修5《等比数列》教案
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高中数学必修5《等比数列》教案

  高中数学必修5《等比数列》教案【一】   教学准备   教学目标   1、数学知识:掌握等比数列的概念,通项公式,及其有关性质;   2、数学能力:通过等差数列和等比数列的类比学习,培养学生类比归纳的能力;   归纳——猜想——证明的数学研究方法;   3、数学思想:培养学生分类讨论,函数的数学思想。   教学重难点   重点:等比数列的概念及其通项公式,如何通过类比利用等差数列学习等比数列;   难点:等比数列的性质的探索过程。   教学过程   教学过程:   1、 问题引入:   前面我们已经研究了一类特殊的数列——等差数列。   问题1:满足什么条件的数列是等差数列?如何确定一个等差数列?   (学生口述,并投影):如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。   要想确定一个等差数列,只要知道它的首项a1和公差d。   已知等差数列的首项a1和d,那么等差数列的通项公式为:(板书)an=a1+(n-1)d。   师:事实上,等差数列的关键是一个“差”字,即如果一个数列,从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。   (第一次类比)类似的,我们提出这样一个问题。   问题2:如果一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的……等于同一个常数,那么这个数列叫做……数列。   (这里以填空的形式引导学生发挥自己的想法,对于“和”与“积”的情况,可以利用具体的例子予以说明:如果一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的“和”(或“积”)等于同一个常数的话,这个数列是一个各项重复出现的“周期数列”,而与等差数列最相似的是“比”为同一个常数的情况。而这个数列就是我们今天要研究的等比数列了。)   2、新课:   1)等比数列的定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做公比。   师:这就牵涉到等比数列的通项公式问题,回忆一下等差数列的通项公式是怎样得到的?类似于等差数列,要想确定一个等比数列的通项公式,要知道什么?   师生共同简要回顾等差数列的通项公式推导的方法:累加法和迭代法。   公式的推导:(师生共同完成)   若设等比数列的公比为q和首项为a1,则有:   方法一:(累乘法)   3)等比数列的性质:   下面我们一起来研究一下等比数列的性质   通过上面的研究,我们发现等比数列和等差数列之间似乎有着相似的地方,这为我们研究等比数列的性质提供了一条思路:我们可以利用等差数列的性质,通过类比得到等比数列的性质。   问题4:如果{an}是一个等差数列,它有哪些性质?   (根据学生实际情况,可引导学生通过具体例子,寻找规律,如:   3、例题巩固:   答案:1458或128。   例2、正项等比数列{an}中,a6·a15+a9·a12=30,则log15a1a2a3 …a20 =_ 10 ____.   例3、已知一个等差数列:2,4,6,8,10,12,14,16,……,2n,……,能否在这个数列中取出一些项组成一个新的数列{cn},使得{cn}是一个公比为2的等比数列,若能请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项?   (本题为开放题,没有唯一的答案,如对于{cn}:2,4,8,16,……,2n,……,则ck=2k=2×2k-1,所以{cn}中的第k项是等差数列中的第2k-1项。关键是对通项公式的理解)   1、 小结:   今天我们主要学习了有关等比数列的概念、通项公式、以及它的性质,通过今天的学习   我们不仅学到了关于等比数列的有关知识,更重要的是我们学会了由类比——猜想——证明的科学思维的过程。   2、 作业:   P129:1,2,3   思考题:在等差数列:2,4,6,8,10,12,14,16,……,2n,……,中取出一些项:6,12,24,48,……,组成一个新的数列{cn},{cn}是一个公比为2的等比数列,请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项?   教学设计说明:   1、 教学目标和重难点:首先作为等比数列的第一节课,对于等比数列的概念、通项公式及其性质是学生接下来学习等比数列的基础,是必须要落实的;其次,数学教学除了要传授知识,更重要的是传授科学的研究方法,等比数列是在等差数列之后学习的因此对等比数列的学习必然要和等差数列结合起来,通过等比数列和等差数列的类比学习,对培养学生类比——猜想——证明的科学研究方法是有利的。这也就成了本节课的重点。   2、 教学设计过程:本节课主要从以下几个方面展开:   1) 通过复习等差数列的定义,类比得出等比数列的定义;   2) 等比数列的通项公式的推导;   3) 等比数列的性质;   有意识的引导学生复习等差数列的定义及其通项公式的探求思路,一方面使学生回顾旧   知识,另一方面使学生通过联想,为类比地探索等比数列的定义、通项公式奠定基础。   在类比得到等比数列的定义之后,再对几个具体的数列进行鉴别,旨在遵循“特殊——一般——特殊”的认识规律,使学生体会观察、类比、归纳等合情推理方法的应用。培养学生应用知识的能力。   在得到等比数列的定义之后,探索等比数列的通项公式又是一个重点。这里通过问题3的设计,使学生产生不得不考虑通项公式的心理倾向,造成学生认知上的冲突,从而使学生主动完成对知识的接受。   通过等差数列和等比数列的通项公式的比较使学生初步体会到等差和等比的相似性,为下面类比学习等比数列的性质,做好铺垫。   等比性质的研究是本节课的高潮,通过类比   关于例题设计:重知识的应用,具有开放性,为使学生更好的掌握本节课的内容。   高中数学必修5《等比数列》教案【二】   教学准备   教学目标   知识目标:使学生掌握等比数列的定义及通项公式,发现等比数列的一些简单性质,并能运用定义及通项公式解决一些实际问题。   能力目标:培养运用归纳类比的方法发现问题并解决问题的能力及运用方程的思想的计算能力。   德育目标:培养积极动脑的学习作风,在数学观念上增强应用意识,在个性品质上培养学习兴趣。   教学重难点   本节的重点是等比数列的定义、通项公式及其简单应用,其解决办法是归纳、类比。   本节难点是对等比数列定义及通项公式的深刻理解,突破难点的关键在于紧扣定义,另外,灵活应用定义、公式、性质解决一些相关问题也是一个难点。   教学过程   二、教法与学法分析   ①通过实例,让学生发现规律。让学生在问题情景中,经历知识的形成和发展,力求使学生学会用类比的思想去看待问题。②营造民主的教学氛围,把握好师生的情感交流,使学生参与教学全过程,让学生唱主角,老师任导演。③力求反馈的全面性、及时性。通过精心设计的提问,让学生思维动起来,针对学生回答的问题,老师进行适当的调控。④给学生思考的时间和空间,不急于把结果抛给学生,让学生自己去观察、分析、类比得出结果,老师点评,逐步养成科学严谨的学习态度,提高学生的推理能力。⑤以启迪思维为核心,启发有度,留有余地,导而弗牵,牵而弗达。这样做增加了学生的参与机会,增强学生的参与意识,教给学生获取知识的途径和思考问题的方法,使学生真正成为教学的主体,使学生学会学习,提高学生学习的兴趣和能力。   三、教学程序设计   (4)等差中项:如果a 、 A 、 b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。   说明:通过复习等差数列的相关知识,类比学习本节课的内容,用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点。   2.导入新课   本章引言中关于在国际象棋棋盘各格子里放麦粒的问题中,各个格子的麦粒数依次是:   1 , 2 , 4 , 8 , … , 263   再来看两个数列:   5 , 25 ,125 , 625 , ...   ···   说明:引导学生通过“观察、分析、归纳”,类比等差数列的定义得出等比数列的定义,为进一步理解定义,给出下面的问题:   判定以下数列是否为等比数列,若是写出公比q,若不是,说出理由,然后回答下面问题。   -1 , -2 , -4 , -8 …   -1 , 2 , -4 , 8 …   -1 , -1 , -1 , -1 …   1 , 0 , 1 , 0 …   提出问题:(1)公比q能否为零?为什么?首项a1呢?   (2)公比q=1时是什么数列?   (3)q>0是递增数列吗?q<0递减吗?   说明:通过师生问答,充分调动学生学习的主动性及学习热情,活跃课堂气氛,同时培养学生的口头表达能力和临场应变能力。另外通过趣味性的问题,来提高学生的学习兴趣。激发学生发现等比数列的定义及其通项公式的强烈欲望。   3.尝试推导通项公式   让学生回顾等差数列通项公式的推导过程,引导推出等比数列的通项公式。   推导方法:叠乘法。   说明:学生从方法一中学会从特殊到一般的方法,并从次数中去发现规律,以培养学生的观察能力;另外回忆等差数列的特点,并类比到等比数列中来,培养学生的类比能力及将新知识转化到旧知识的能力。方法二是让学生掌握“叠乘”的思路。   4.探索等比数列的图像   等差数列的图像可以看成是直线上一群孤立的点构成的,观察等比数列的通项公式,你能得出什么结果?它的图像如何?   变式2.等比数列{an}中,a2 = 2 , a9 = 32 , 求q.   (学生自己动手解答。)   说明:例1的目的是让学生熟悉公式并应用于实际,例2及变式是让学生明白,公式中a1 ,q,n,an四个量中,知道任意三个即可求另一个。并从这些题中掌握等比数列运算中常规的消元方法。   6.探索等比数列的性质   类比等差数列的性质,猜测等比数列的性质,然后引导推证。   7.性质应用   例3.在等比数列{an}中,a5 = 2 , a10 = 10 , 求a15   (让学生自己动手,寻求多种解题方法。)   方法一:由题意列方程组解得   方法二:利用性质2   方法三:利用性质3   例4(见教材例3)已知数列{an}、{bn}是项数相同的等比数列,求证:{an·bn}是等比数列。   8.小结   为了让学生将获得的知识进一步条理化,系统化,同时培养学生的归纳总结能力及练习后进行再认识的能力,教师引导学生对本节课进行总结。   1、等比数列的定义,怎样判断一个数列是否是等比数列   2、等比数列的通项公式,每个字母代表的含义。   3、等比数列应注意那些问题(a1≠0,q≠0)   4、等比数列的图像   5、通项公式的应用 (知三求一)   6、等比数列的性质   7、等比数列的概念(注意两点①同号两数才有等比中项   ②等比中项有两个,他们互为相反数)   8、本节课采用的主要思想   ——类比思想   9.布置作业   习题3.4 1②、④ 3. 8. 9.   10.板书设计

高中数学教案《等比数列》
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高中数学教案《等比数列》

  数学是一门让人很头疼的学科,但是如果教学的时候加上教案可能会容易理解的多。下面是由我精心为大家整理的“高中数学教案《等比数列》”,更多优秀的文章尽在,欢迎大家阅读,内容仅供参考,希望对您有所帮助!   高中数学教案《等比数列》   教学目标   1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决简单的问题。   (1)正确理解等比数列的定义,了解公比的概念,明确一个数列是等比数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等比数列,了解等比中项的概念;   (2)正确认识使用等比数列的表示法,能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;   (3)通过通项公式认识等比数列的性质,能解决某些实际问题。   2.通过对等比数列的研究,逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质。   3.通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯,以及实事求是的科学态度。   教材分析   (1)知识结构   等比数列是另一个简单常见的数列,研究内容可与等差数列类比,首先归纳出等比数列的定义,导出通项公式,进而研究图像,又给出等比中项的概念,最后是通项公式的应用.   (2)重点、难点分析   教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用,教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.   ①与等差数列一样,等比数列也是特殊的数列,二者有许多相同的性质,但也有明显的区别,可根据定义与通项公式得出等比数列的特性,这些是教学的重点.   ②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法,但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中,需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明,所以通项公式的推导是难点.   ③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式,因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.   教学建议   (1)建议本节课分两课时,一节课为等比数列的概念,一节课为等比数列通项公式的应用.   (2)等比数列概念的引入,可给出几个具体的例子,由学生概括这些数列的相同特征,从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出,由学生将这些数列进行分类,有一种是按等差、等比来分的,由此对比地概括等比数列的定义.   (3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0,以及每一项均不为0的特性,加深对概念的理解.   (4)对比等差数列的表示法,由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式,由通项公式的结构特征画数列的图象.   (5)由于有了等差数列的研究经验,等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决,教师只需把握课堂的节奏,作为一节课的组织者出现.   (6)可让学生相互出题,解题,讲题,充分发挥学生的主体作用.   教学设计示例   课题:等比数列的概念   教学目标   1.通过教学使学生理解等比数列的概念,推导并掌握通项公式.   2.使学生进一步体会类比、归纳的思想,培养学生的观察、概括能力.   3.培养学生勤于思考,实事求是的精神,及严谨的科学态度.   教学重点,难点   重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.   教学用具   投影仪,多媒体软件,电脑.   教学方法   讨论、谈话法.   教学过程   一、提出问题   给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.(幻灯片)   ①-2,1,4,7,10,13,16,19,…   ②8,16,32,64,128,256,…   ③1,1,1,1,1,1,1,…   ④243,81,27,9,3,1,,,…   ⑤31,29,27,25,23,21,19,…   ⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…   ⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…   ⑧0,0,0,0,0,0,0,…   由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列,也可能分为等差、等比两类),统一一种分法,其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨,得出定义后再考察③是否为等比数列).   二、讲解新课   请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性,教师指出实际生活中也有许多类似的例子,如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫,再假设开始有一个变形虫,经过一个单位时间它分裂为两个变形虫,经过两个单位时间就有了四个变形虫,…,一直进行下去,记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数   这个数列也具有前面的几个数列的共同特性,这是我们将要研究的另一类数列——等比数列. (这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)   等比数列(板书)   1.等比数列的定义(板书)   根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系,尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美,多数情况下,有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义,标注出重点词语.   请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比,并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列,教师再追问,还有没有其他的例子,让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式,学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列,让学生讨论后得出结论:当时,数列既是等差又是等比数列,当时,它只是等差数列,而不是等比数列.教师追问理由,引出对等比数列的认识:   2.对定义的认识(板书)   (1)等比数列的首项不为0;   (2)等比数列的每一项都不为0,即   问题:一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件?   (3)公比不为0.   用数学式子表示等比数列的定义. 是等比数列   ①.在这个式子的写法上可能会有一些争议,如写成 ,可让学生研究行不行,好不好;接下来再问,能否改写为 是等比数列?为什么不能? 式子给出了数列第项与第   项的数量关系,但能否确定一个等比数列?(不能)确定一个等比数列需要几个条件?当给定了首项及公比后,如何求任意一项的值?所以要研究通项公式.   3.等比数列的通项公式(板书)   问题:用和表示第项   ①不完全归纳法   ②叠乘法 ,…,,这个式子相乘得,所以   (板书)(1)等比数列的通项公式   得出通项公式后,让学生思考如何认识通项公式.   (板书)(2)对公式的认识   由学生来说,最后归结:   ①函数观点;   ②方程思想(因在等差数列中已有认识,此处再复习巩固而已).   这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量,知三求一,这是公式最简单的应用,请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?(不仅要会解题,还要注意规范表述的训练)   如果增加一个条件,就多知道了一个量,这是公式的更高层次的应用,下节课再研究.同学可以试着编几道题。   三、小结   1.本节课研究了等比数列的概念,得到了通项公式;   2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比;   3.用方程的思想认识通项公式,并加以应用。   探究活动   将一张很大的薄纸对折,对折30次后(如果可能的话)有多厚?不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。   参考答案:   30次后,厚度为,这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度。如果纸再薄一些,比如纸厚0.001毫米,对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗?第31个格子中的米已经是1073741824粒了,后边的格子中的米就更多了,最后一个格子中的米应是 粒,用计算器算一下吧(对数算也行)。